高等數學（上冊）

第1章 函數
1.1基本概念
1.1.1集合、區間、絕對值和鄰域
1.1.2函數的定義
1.1.3具有某種特性的函數
1.1.4函數的四則運算、複合函數和反函數
習題1.1
1.2初等函數
1.2.1基本初等函數
1.2.2初等函數的定義及其範例
習題1.2
1.3函數關係的幾種表示方法
1.3.1函數的分段表示
1.3.2函數的隱式表示
1.3.3函數的參數表示
習題1.3
複習題1

第2章 數列及其極限
2.1數列的極限
2.1.1數列
2.1.2收斂數列
2.1.3數列和子數列之間的關係
2.1.4數列中的無窮小量和無窮大量
2.1.5數列極限的基本性質
習題2.1
2.2數列極限的運算法則
2.2.1四則運算法則
2.2.2夾逼準則
2.2.3單調有界原理和一個重要的極限
習題2.2
複習題2

第3章 函數的極限與連續
3.1函數的極限
3.1.1函數極限的定義
3.1.2無窮小量和無窮大量
習題3.1
3.2函數極限的性質和運算法則
3.2.1函數極限的基本性質
3.2.2函數極限的運算法則
3.2.3夾逼準則和兩個重要的極限
習題3.2
3.3無窮小量的比較
3.3.1無窮小量的階
3.3.2等價無窮小的替換原理
習題3.3
3.4連續函數
3.4.1連續函數的定義
3.4.2函數的間斷點
習題3.4
3.5連續函數的運算和性質
3.5.1連續函數的運算
3.5.2初等函數的連續性
3.5.3閉區間上連續函數的性質
習題3.5
複習題3

第4章 導數與微分
4.1基本概念
4.1.1兩個典型問題
4.1.2導數的定義
4.1.3導數的幾何解釋
4.1.4可導與連續的關係
習題4.1
4.2導數的運算法則
4.2.1導數的四則運算法則
4.2.2反函數的導數
4.2.3複合函數的導數
4.2.4初等函數的導數
習題4.2
4.3高階導數
4.3.1高階導數的定義
4.3.2高階導數的運算法則
習題4.3
4.4隱函數的導數
4.4.1由一個方程確定的隱函數的導數
4.4.2由參數方程確定的函數的導數
習題4.4
4.5函數的微分
4.5.1引例
4.5.2微分的定義
4.5.3微分的幾何解釋
4.5.4微分的運算法則和公式
4.5.5微分在近似計算中的應用
習題4.5
複習題4

第5章 微分中值定理及其應用
5.1微分中值定理
5.1.1羅爾定理
5.1.2拉格朗日中值定理
5.1.3柯西中值定理
習題5.1
5.2洛必達法則
5.2.100型未定式的極限
5.2.2∞∞型未定式的極限
5.2.3其他未定式的極限
習題5.2
5.3泰勒公式
5.3.1泰勒定理
5.3.2泰勒公式的應用
習題5.3
5.4函數的性態(Ⅰ)——單調性與凸性
5.4.1函數的單調性
5.4.2函數的凸性及其拐點
習題5.4
5.5函數的性態(Ⅱ)——極值與最值
5.5.1函數的極值
5.5.2最大值與最小值
5.5.3應用舉例
習題5.5
5.6函數圖形的描繪
5.6.1曲線的漸近線
5.6.2函數的性態表與作圖
習題5.6
5.7曲率
5.7.1弧微分
5.7.2曲率及其計算公式
5.7.3曲率圓與曲率半徑
習題5.7
複習題5

第6章 不定積分
6.1基本概念及性質
6.1.1原函數
6.1.2不定積分的定義
6.1.3不定積分的幾何解釋
6.1.4基本積分公式
6.1.5不定積分的性質
習題6.1
6.2換元積分法
6.2.1第一類換元積分法
6.2.2第二類換元積分法
習題6.2
6.3分部積分法
習題6.3
6.4有理函數的積分及其應用
6.4.1有理函數的積分
6.4.2簡單的無理函數的積分
6.4.3三角函數有理式的積分
習題6.4
複習題6

第7章 定積分及其應用
7.1定積分的概念
7.1.1引例
7.1.2定積分的定義
7.1.3定積分的幾何解釋
習題7.1
7.2定積分的存在條件及其性質
7.2.1定積分的存在條件
7.2.2定積分的性質
習題7.2
7.3微積分基本公式
7.3.1積分上限的函數及其導數
7.3.2牛頓萊布尼茨公式
習題7.3
7.4換元積分法和分部積分法
7.4.1定積分的換元法
7.4.2定積分的分部積分法
習題7.4
7.5反常積分
7.5.1無窮區間上的反常積分
7.5.2無界函數的反常積分
習題7.5
7.6定積分在幾何中的應用
7.6.1定積分的微元法
7.6.2平面圖形的面積
7.6.3旋轉體的體積
7.6.4平行截面面積為已知的立體的體積
7.6.5平面曲線的弧長
習題7.6
複習題7

第8章 常微分方程
8.1微分方程的基本概念
8.1.1引例
8.1.2基本概念
習題8.1
8.2常微分方程的初等積分法（Ⅰ）
8.2.1分離變數方程
8.2.2一階線性微分方程
8.2.3伯努利方程
習題8.2
8.3常微分方程的初等積分法（Ⅱ）
8.3.1齊次方程
8.3.2可降階的二階微分方程
8.3.3其他類型的常微分方程
習題8.3
8.4高階線性微分方程
8.4.1二階線性微分方程解的性質
8.4.2二階線性微分方程的通解
習題8.4
8.5高階常係數線性微分方程
8.5.1n階常係數齊次線性微分方程的解法
8.5.2高階常係數非齊次線性微分方程的解法
習題8.5
8.6微分方程的應用舉例
複習題8
習題答案及提示

高等數學是高等學校的一門重要基礎課程，更是理工科學生接受高等教育不可或缺的一部分。已獲得公眾認知的是：高等數學不僅為理工科學生學習後續專業課程提供所必需的數學知識；而且為工程技術人員處理科學問題提供必要的理論依據。然而，高等數學本身不僅僅是一門科學，更重要的是，通過分析、歸納、推理等各項數學素養的訓練，能夠使學生具備理性思維能力、邏輯推理能力以及綜合判斷能力。

為了適應高等教育的發展，順利完成精英化教育向大眾化教育的轉型，本著“以人為本、因材施教、夯實基礎、創新應用”的指導思想，大連民族大學理學院組織了具有豐富教學經驗的一線教師編寫本教材。

本書以教育部高等學校大學數學課程教學指導分委員會制定的《工科類本科數學基礎課程教學基本要求》為依據，在知識點的覆蓋面與“基本要求”相一致的基礎上，對課程內容體系進行了整體優化，強化了高等數學與後續專業課程的聯繫，使之更側重于培養學生的基礎能力和應用能力，以適應培養應用型、複合型本科人才的培養目標。與傳統教材相比，我們在編寫時特別注意了以下3個方面：

1。 在知識體系的編排上，突出基礎的重要地位。對教材的內容進行了適當的優化和調整，減少課程內容的重複講授。例如，在傳統教材中，函數和數列極限是幾乎被忽略的內容，只用很少的篇幅進行介紹，並且在授課時也只是泛泛講解，這對學生學習高等數學是非常不利的。一方面，函數是微積分的研究物件，極限是微積分的研究工具，淡化了這些基礎內容，不利於學生完成從初等數學到高等數學的思維方式的跨越；另一方面，學生從高考結束到進入大學學習，空閒了至少2個月的時間，淡化了這些內容，對學生學習後續的內容影響很大。本書中，我們將函數和數列極限分別作為一章講述；將定積分及定積分的應用合併成一章；由於定積分在物理方面的應用與大學物理課程的內容重複，故將其刪去；為了便於學生學習和掌握，將常微分方程一章中的所有應用題單列一節講授。

2。 在課程內容的編寫上，注重知識點的使用方法和技巧。在給出重要的定義和定理時，對其進行必要的說明，指出了在使用定義和定理解決相關問題時的誤區，列舉了一些典型反例；對典型例題進行先分析提示，再引導求解，逐步使學生在學習“規則”時，能夠正確理解並合理使用這些“規則”，做題時有理可依、有據可查。

3。 在例題、習題的選配上，注重不同的層次和類別。為了滿足不同專業、不同層次學生的需求，將例題分為三個層次。第一層次注重的是定義和定理，使學生能夠正確合理使用這些知識點解決一些基本問題；第二層次注重的是數學的方法和技巧，使學生能夠靈活運用這些知識點解決一些相對複雜的問題，培養學生的邏輯推理和計算能力；第三層次注重的是應用，使學生能夠綜合運用所學的知識解決一些較為困難的問題，從而提高學生的數學素質。此外，對於同一類型題，我們選配了多個例題，教師可以有選擇地講授，其餘的學生可以自學。將習題分為A和B兩類，學生通過學習第一、第二層次的例題便可以解決A類題中的內容，而B類題的內容相對複雜，求解較為困難，主要是為了滿足部分專業和部分考研學生對高等數學的實際需求。

本書在編寫過程中，各位參與編寫的教師能夠統一思想、團結協作，歷經了充分調研、反復論證、獨立撰寫、相互審閱、及時修補等環節，使本書從初稿、統稿到定稿能夠分階段順利完成。其中，第1，9章由謝叢波編寫； 第2，3，8章由焦佳編寫；第4，5，11，12章由董麗編寫；第6，7，10章由張文正編寫；第13章由楚振豔編寫。謝叢波為本書繪製了圖形。最後由袁學剛和張友負責全書的統稿及修改定稿，並對各個章節及課後習題進行了適當的修改。

本書的順利出版，離不開大連民族大學各級領導的關心和支持，在此表示感謝。還要特別感謝清華大學出版社的劉穎編審，他對本書的初稿進行了認真的審閱，給予了具體的指導，提出了寶貴的建議。本書在編寫過程中，我們參閱了大量的國內外各種版本的同類教材，並借鑒了這些教材的一些經典例題和習題，由於難以一一列舉出處，深感歉疚，只能在此一併表示由衷的謝意。

儘管我們投入了大量的精力，但由於水準有限，書中還會存在某些不足或錯誤，懇請廣大同行、讀者批評指導，以期進一步修正和完善。

編者2017年7月