近代分析基礎

第1章 一般拓撲
1.1 集合與集合間運算
1.2 拓撲空間
1.3 緊空間
1.4 拓撲空間的特征性質
1.5 分離性公理
1.6 距離空間
第2章 線性泛函分析
2.1 Banach空間
2.2 開映射定理與閉圖像定理
2.3 商空間與弱收斂
2.4 Hilbert空間
2.5Hilbert空間的正交系
第3章 Sobolev空間
3.1 Sobolev空間
3.2 Sobolev空間的基本性質
第4章 線性算子的譜分析
4.1 稠定算子
4.2 有界算子的譜
4.3 非有界自共軛算子的譜定理
第5章 非線性的分析簡介
5.1 Brouwer拓撲度
5.2 Leray-Schauder拓撲度
習題
《大學數學科學叢書》已出版書目

本書是在作者自1995年起於同濟大學應用數學系給碩士研究生開的「現代分析基礎課程」講義的基礎上編寫的。

當時為碩士研究生開設這一課程的誘因是隨着碩士研究生的擴招，發現這些碩士生的學習程度參差不齊，一些原來認為應該在本科階段學過的課程卻並沒有真正學過，因此根據這個實際情況，設置了這個「現代分析基礎課程」。主要是講述我們認為一個數學專業的碩士生必須要掌握的分析知識，因此這個課程起點較低，涉及面較廣，因而較為精練，每部分都選所涉內容的最主要的結果，

全書共分5章，第1章是一般拓撲，一般拓撲是連續性數學的基礎，因此亦是分析學科的基礎。第2章是線性泛函分析，其中心就是Hahn￣Banach定理、共鳴定理、開映射定理、閉圖像定理與Riesz表示定理，這些定理在數學各分支上都有重要的應用。第3章是Sobolev空間，本章只是介紹Sobolev空間的定義與最主要的結果。Sobolev空間理論的重要性是基於它在分析、幾何、計算數學等方面都有着經常的應用，第4章是線性算子的譜分析，特別是自共軛算子的譜理論，算子譜理論本身是一個重要的研究課題，而從本章的譜表示定理中可以觀察到上面提到的線性分析中的幾個著名定理的應用。第5章是對非線性分析的簡單介紹，主要是介紹Brouwer拓撲度與Leray－Schauder拓撲度。

每章后面有一些習題，這些習題中有的有一定難度，部分的是本章前面內容的繼續，這些習題的目的是培養研究生對已經學過的內容的掌握與應用，同時亦希望鍛煉學生進一步自學的能力及擴展他們的相關知識，希望這些習題會起到溫故又知新的效果。

每章結束后有一個簡短的小節，主要介紹有關的參考書，讀者若對該章內容的進一步展開有興趣，可以閱讀有關的參考書。

本書每一章都可以單獨寫成一本完整的教材，因此本書對每一部分都進行了精簡，這種精簡完全仰賴作者對數學的領悟和理解，囿於作者的水平，錯誤與失當之處恐屬難免，因此希望讀者不吝指正為盼。

正如本文開始時指出的，這是針對同濟大學應用數學系碩士研究生的狀況所編寫的教材，因此或許對於所招碩士生的水平與同濟大學應用數學系相仿的學校會有參考價值。

本書的出版得到同濟大學研究生院與科學出版社的支持，作者在此表示感謝。