古今數學思想（第四冊）

第40章 分析中注入嚴密性
1.引言
2.函數及其性質
3.導數
4.積分
5.無窮級數
6.Fourier級數
7.分析的狀況
第41章 實數和超限數的基礎
1.引言
2.代數數與超越數
3.無理數的理論
4.有理數的理論
5.實數系的其他處理
6.無窮集合的概念
7.集合論的基礎
8.超限基數與超限序數
9.集合論在20世紀初的狀況
第42章 幾何基礎
1.Euclid中的缺陷
2.對射影幾何學基礎的貢獻
3.Euclid幾何的基礎
4.一些有關的基礎工作
5.一些未解決的問題
第43章 19世紀的數學
1.19世紀發展的主要特征
2.公理化運動
3.作為人的創造物的數學
4.真理的喪失
5.作為研究任意結構的數學
6.相容性問題
7.向前的一瞥
第44章 實變函數論
1.起源
2.Stieltjes積分
3.有關容量和測度的早期工作
4.Lebesgue積分
5.推廣
第45章 積分方程
1.引言
2.一般理論的開始
3.Hilbert的工作
4.Hilbert的直接繼承者
5.理論的推廣
第46章 泛函分析
1.泛函分析的性質
2.泛函的理論
3.線性泛函分析
4.Hilbert空間的公理化
第47章 發散級數
1.引言
2.發散級數的非正式應用
3.漸近級數的正式理論
4.可和性
第48章 張量分析和微分幾何
1.張量分析的起源
……
第49章 抽象代數的出現
第50章 拓撲的開始
第51章 數學基礎
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本書論述從古代一直到20世紀頭幾十年中的重大數學創造和發展．目的是介紹中心思想，特別著重于那些在數學歷史的主要時期中逐漸冒出來並成為最突出的、並且對于促進和形成爾後的數學活動有影響的主流工作．本書所極度關心的還有︰對數學本身的看法，不同時期中這種看法的改變，以及數學家對于他們自己的成就的理解．

必須把本書看作是歷史的一個概述，當人們想到Euler的全集滿滿的約70卷，Cauchy的26卷，Gauss的12卷，人們就容易理解只憑本書一卷的篇幅不能給出一個詳盡的敘述，本書的一些篇章只提出所涉及的領域中已經創造出來的數學的一些樣本，可是我堅信這些樣本最具有代表性，再者，為著把注意力始終集中于主要的思想，我引用定理或結果時，常常略去嚴格準確性所需要的次要條件．本書當然有它的局限性，但我相信它已給出整個歷史的一種概貌．

本書的組織著重在居領導地位的數學課題，而不是數學家，數學的每一分支打上了它的奠基者的烙印，並且杰出的人物在確定數學的進程方面起決定性作用，但是，特意敘述的是他們的思想，傳記完全是次要的，在這一點上，我遵循Pascal的意見︰“當我們援引作者時，我們是援引他們的證明，不是援引他們的姓名．”

為使敘述連貫，特別是在1700年以後的時期，對于每一發展要等到它已經成熟、在數學中佔重要地位並且產生影響的時候，我才進行論述．例如，我把非歐幾里得幾何放在19世紀的時期介紹，雖然企圖尋找歐幾里得平行公理的替代物或證明早在Euclid時代就開始了並且繼續不斷，當然，有許多問題會在不同的時期反復提及，

為了不使資料漫無邊際，我忽略了幾種文化，例如中國的、日本的和瑪雅的文化，因為他們的工作對于數學思想的主流沒有重大的影響．還有一些數學中的發展，例如概率論和差分演算，它們今天變得重要，但在所考慮的時期中並未起重要作用，從而也只得到很少的注意，這最後的幾十年的大發展使我不得不在本書中只收入那些20世紀的，並且在該時期變成有特殊意義的創造．我沒有在20世紀時期繼續討論像常微分方程或變分法的擴展，因為這將會需要很專門的資料，而它們只對于這些領域的研究工作者有興趣，並且將會大大增加本書的篇幅，此外還考慮到，對于許多較新的發展的重要性，目前還不能作客觀的估價．數學的歷史告訴我們，許多科目曾經激起過很大的熱情，並且得到最好的數學家的注意，但終于湮沒無聞．我們只需要回憶一下Cayley的名言︰射影幾何就是全部幾何，以及Sylvester的斷言︰代數不變量的理論已經總結了數學中的全部精華．確實的，歷史給出答案的有趣問題之一便是︰數學中哪些東西還生存著而未被淘汰？歷史作出它自己的而且更可靠的評價，

通過幾十項重要發展的即使是基礎的敘述，也不能指望讀者知道所有這些發展的內容，因此，我在本書中論述某科目的歷史時，除去一些極初等的領域外，也說明科目的內容，把科目的歷史敘述和內容說明融和起來，對各種數學創造，這些說明也許不能把它們完全講清楚，但應能使讀者對它們的本質得到某些概念，從而，在某種程度上，本書也可作為一本歷史角度來講解的數學入門書，這無疑地是使讀者能獲得理解和鑒賞的最好的寫法之一。

……